РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2313 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Классификатор алгебры: 6\.8\. Тригонометрические уравнения на сумму функций

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Методы тригонометрии: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $косинус 14x плюс косинус 9x плюс косинус 4x = 0$ на промежутке (– 90°; 0°).

Решение. Решим уравнение, применяя формулу суммы косинусов:

$косинус 14x плюс косинус 9x плюс косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус дробь: числитель: 14x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 14x плюс 4x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 5x косинус 9x плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 9x левая круглая скобка 2 косинус 5x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 9x = 0, косинус 5x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 9x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 5x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $косинус 14x плюс косинус 9x плюс косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус дробь: числитель: 14x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 14x плюс 4x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 5x косинус 9x плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 9x левая круглая скобка 2 косинус 5x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 9x = 0, косинус 5x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 9x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 5x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$ $косинус 14x плюс косинус 9x плюс косинус 4x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус дробь: числитель: 14x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 14x плюс 4x, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 5x косинус 9x плюс косинус 9x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 9x левая круглая скобка 2 косинус 5x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 9x = 0, косинус 5x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 9x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, 5x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, 5x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, x = дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

Отберем с помощью двойного неравенства корни, лежащие в промежутке $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка :$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k меньше 0 равносильно минус 9 Пи меньше Пи плюс 2 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 10 Пи меньше 2 Пи k меньше минус Пи равносильно минус 5 меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 9 Пи меньше Пи плюс 2 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 10 Пи меньше 2 Пи k меньше минус Пи равносильно минус 5 меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 9 Пи меньше Пи плюс 2 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 10 Пи меньше 2 Пи k меньше минус Пи равносильно$
$равносильно минус 5 меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно минус 15 Пи меньше 4 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 19 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 4 Пи равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 15 Пи меньше 4 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 19 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 4 Пи равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 15 Пи меньше 4 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 19 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 4 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно минус 15 Пи меньше 8 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 23 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 8 Пи равносильно минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 15 Пи меньше 8 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 23 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 8 Пи равносильно минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби n меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 15 Пи меньше 8 Пи плюс 12 Пи k меньше 0 равносильно$
$равносильно минус 23 Пи меньше 12 Пи k меньше минус 8 Пи равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше k меньше минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Из первой серии корней получаем целые $k = минус 4, минус 3, минус 2, минус 1,$ которым соответствуют (в градусах) корни  $минус 70, минус 50, минус 30, минус 10.$ Из второй и третьей серий корней получаем целое n  =  – 1, которому соответствуют (в градусах) корни  $минус 48, минус 24.$ Сложим:

$минус 70 минус 50 минус 30 минус 10 минус 48 минус 24 = минус 232.$

Ответ: – 232.

Ответ: -232

2313

-232

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 6

Классификатор алгебры: 6\.8\. Тригонометрические уравнения на сумму функций

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Методы тригонометрии: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2313	-232